“至死不懈”中的“不懈”是动词，而整个短语是副词性成语。具体分析如下：

词语结构

“至死不懈”由“至死”和“不懈”两部分组成，其中“至死”是时间状语，“不懈”是中心词。

词性解析

- “不懈”：

本义为“松懈、懈怠”，在成语中作谓语动词，表示“不停止、不放松”的动作。

- “至死”：作状语，修饰“不懈”，表示时间范围“到死以后”。

短语功能

整个成语作谓语或定语，用于形容对事业、信念的执着追求，例如：

- 他一生 至死不懈地投身科研。

相关辨析

该短语与形容词“不屈不挠”中的“不屈”类似，但“不懈”更强调持续行动的动态过程，而“不屈”侧重静态品质。

综上，“至死不懈”中的“不懈”是动词，整个短语属于副词性成语。