笛卡尔心形函数是数学中经典的几何曲线，其解析式和图像特征如下：

一、直角坐标系下的解析式

笛卡尔心形函数的标准方程为：

$$x^2 + \left( y - \sqrt{x^2 + y^2} \right)^2 = 1$$

该方程满足：

对称性：

关于y轴对称；

中心点：

原点（0,0）；

形状特征：

形似两个圆相交形成的心形图案。

二、极坐标系下的解析式

极坐标方程

- 水平方向：$\rho = a（1 - \cos\theta）$

- 垂直方向：$\rho = a（1 + \sin\theta）$

其中$a > 0$为常数，决定了心形的大小。

参数化形式

通过参数$\theta$（通常取$0 \leq \theta \leq 2\pi$）可以绘制完整的心形曲线。

三、函数特性与应用

参数调整：

改变$a$值可缩放心形大小，$a$越大，心形越宽。

应用领域：在数学中用于描述电子轨道、行星运动等物理现象；在文学中，该公式被赋予“笛卡尔的爱情坐标公式”的浪漫寓意。

四、图像示例

该图像以原点为中心，随着$\theta$的变化形成对称的心形结构。