数学家的故事40字可归纳为以下核心内容：

阿基米德的故事

计算圆周率

采用“穷竭法”通过计算圆内接正多边形逼近圆周率，得出π介于3.1007与3.1429之间，为几何学和工程学奠定基础。

几何图形重心

提出三角形重心为三条中线交点、平行四边形重心为对角线交点等结论，推动静力学发展。

球与圆柱体积关系

发现内切球体积为圆柱体积的2/3，表面积也为圆柱侧面积的2/3，并希望墓碑刻上相关图形。

大数记法与棋盘放米

- 提出“古戈”表示10^100，解决沙子数量无限问题；

- 与国王下棋时，通过指数级增长米粒数展示数学之美。