实数的阿基米德性可通过以下两种主要方法证明，其中反证法是经典且权威的证明方式：

一、反证法（基于实数完备性）

假设与集合构造

假设对任意正实数 $a$ 和 $b$（$b > a$），不存在正整数 $n$ 使得 $na > b$。设集合 $S = \{na \mid n \in \mathbb{N}^+\}$，则 $b$ 是 $S$ 的上界。

上界性质推导

根据实数完备性，$S$ 存在最小上界，记为 $\eta$。由于 $\eta$ 是 $S$ 的上界，故对任意 $n \in \mathbb{N}^+$，有 $na \leq \eta$。

矛盾产生

另一方面，$\eta - a$ 也是 $S$ 的上界且 $\eta - a < \eta$。根据 $S$ 的定义，存在 $m \in \mathbb{N}^+$ 使得 $（m+1）a > \eta - a$，即 $ma + a > \eta - a$，从而 $ma > \eta - 2a$。由于 $\eta$ 是最小上界，$ma \geq \eta$，导致 $\eta > \eta - 2a$，矛盾。

结论

假设不成立，故存在正整数 $n$ 使得 $na > b$，实数阿基米德性得证。

二、戴德金分割法（基于实数连续性）

分割构造

对于正实数 $a$ 和 $b$（$b > a$），构造实数集 $A = \{na \mid n \in \mathbb{N}^+\}$，其上界为 $b$，下界为 $0$，形成非空集合 $A$。

上界性质推导

根据实数完备性，$A$ 存在最小上界，记为 $\eta$。由于 $\eta$ 是 $A$ 的上界，故对任意 $n \in \mathbb{N}^+$，有 $na \leq \eta$。

矛盾产生

另一方面，$\eta - a$ 也是 $A$ 的上界且 $\eta - a < \eta$。根据 $A$ 的定义，存在 $m \in \mathbb{N}^+$ 使得 $（m+1）a > \eta - a$，即 $ma + a > \eta - a$，从而 $ma > \eta - 2a$。由于 $\eta$ 是最小上界，$ma \geq \eta$，导致 $\eta > \eta - 2a$，矛盾。

结论

假设不成立，故存在正整数 $n$ 使得 $na > b$，实数阿基米德性得证。

总结

两种方法均基于实数的完备性（或连续性），通过反证法或分割构造推导出矛盾，从而证明实数具有阿基米德性。其中反证法因逻辑严密性更受权威文献推崇。