“推门而入”中的“而”是一个表示动作连续性的连词，强调动作的顺承关系，即“推门”和“进入”两个动作紧密衔接，几乎同时发生。这种用法在文言文中较为常见，通常不单独翻译，但可理解为“一边推门，一边进入”或“随即进入”。

例句解析：

巴金《多印几本西方文学名著》

“当天晚上就有几个中学生推门而入，把一只绘着黛玉葬花的古旧花瓶当着我的面打碎。”

这里“推门而入”描述了中学生直接进入房间的连续动作，强调行为的不加掩饰和急切。

陶渊明《归去来兮辞》

“门虽设而常关，策扶老以流憩。”

虽然门是设置的，但经常关闭，此处“而”连接“门设”与“常关”，表示一种状态与行为的对比，但未直接体现“推门而入”的连续动作。

补充说明：

该词在现代汉语中仍被广泛使用，例如：“推门而入的客人显得非常热情。”

在文言文中，“而”作为连词时，常与其他虚词（如“却”“但”）搭配使用，表示转折关系，如《愚公移山》中的“而山不加增”。

综上，“推门而入”的“而”主要起连接作用，强调动作的连贯性和自然过渡。